Yuez
#1
在Qian的开发过程中，我们遇到了一个问题：不同的加密货币的价值显然有不同的风险，那么，如何量化不同加密货币的风险呢？
货币的对数回报率，是货币的一大重要指标，那么对数回报率的高低能不能作为货币价值风险的指标呢？在考虑这个问题之前，先问自己这么一个问题：如何定义一个货币的风险？
我们定义加密货币的风险为：在给定一个时间窗口内，货币在不发生最坏的给定概率的情况下，可能承受的最大损失比例。这个比例越大，则说明这个加密货币的风险越高。
对于我们的场景，我们关心：在1小时的时间窗口中，货币行情在不发生最坏的1%的情况下，可能承受的最大损失比例。
为了计算这个风险指数，我们使用以太坊的每小时币价数据，对其每小时的对数回报率进行研究。
一个很容易想到的问题是： 币价的涨跌有相关性吗？
相关性可能为正，也可能为负。我们的问题通俗地说就是：在相邻的两个或多个时间窗口内，涨了就更有可能接着涨吗？又或者，涨了就更有可能接着跌吗？
为了探究这个问题，我们对币价的对数回报率进行自相关分析，来验证币价的对数回报率的时间序列数据，是否存在自相关性，结果如下：
能够看到，币价的对数回报率的自相关性非常弱。这说明，币价在一个时间窗口之内的涨价或跌价，并不意味着在下一个时间窗口内会更有可能同向或反向发展。
Yuez
#2
继续思考，既然币价的涨跌方向难以被预估，那么我们就抛去涨跌的方向，只关心涨跌的幅度。
现实中，我们也经常有这样的情况：“啊大涨啊，好开心，我要继续投”，又过了一会儿“啊啊啊，怎么突然跌掉那么多”，再过了一会儿“咦怎么还会跌那么多”。
那么我们可以带着泪水，大胆作出如下假设：在一段大涨或大跌后，更有可能跟随着一段大涨或大跌；以此类推，在一段不活跃的行情后，也更有可能继续持续不活跃的行情。换句话说，币价的波动程度存在着聚集性，大波动往往跟随者大波动，小波动往往跟随者小波动。
于是，我们对币价的对数回报率的绝对值进行自相关分析，来验证我们的猜测，结果如下：
我们发现了明显的自相关性，印证了我们的猜测。
这就为我们带来了一个非常符合上述特性的概率模型：广义自回归条件异方差模型。
我们将使用广义自回归条件异方差（GARCH）模型来对对数收益率的时间序列进行建模，用于解释历史数据以及估算当前时间点的资产风险。
所谓“异方差”，就是指在整个时间序列中，方差随时间变化而变化。金融数据往往呈现出波动率（即对数回报率的标准差）聚集的特性：大波动往往跟随者大波动，小波动往往跟随者小波动。因此，异方差模型相比传统计量经济学中基于方差恒定的假设的模型相比，更加能够准确地解释和模拟对数回报率的时间序列的波动率的变化，从而可以更准确地估算我们需要的风险指数。
要使用GARCH模型，我们还缺少一些信息，那就是，对数收益率本身的统计学特征。
我们检验，货币的对数收益率是否符合正态分布，结果发现，货币的对数收益率的分布呈左偏和高峰度的特征，故不符合正态分布，而更加符合 Student's t 分布。
以此，我们得到了使用的 GARCH(1, 1) - Student’s t 模型，表示为：
(1) r_t = a_0 + 𝜎_t ^ 2 * 𝜀_t
(2) 𝜎_t ^ 2 = 𝛼_0 + 𝛽_1 * 𝜎_{t -1} ^ 2 + 𝛼_1 * 𝜀_{t-1} ^ 2
(3) 𝜀_t ~ t(𝜈) / sqrt(𝜈 / (𝜈 - 2))
其中：
- r_t是方差不恒定的对数回报率的时间序列
- a_0是对数回报率的数学期望，一般非常接近于零
- 𝜎_t ^ 2 * 𝜀_t 是期望外的对数回报
- 𝜎_t ^ 2是随时间变化的可预测的方差
- 𝜀_t是对数收益率的残差的时间序列，符合Student’s t分布
等式(1)表示：时间段t的对数回报率由期望中的回报率加上期望外的回报率组成。
等式(2)来自于自回归滑动平均模型：ARMA(1, 1)。就跟字面意思一样，自回归滑动平均模型实际上来自于自回归模型和滑动平均模型。其中𝛼_0为时间序列中可达到的最小的方差，𝛼_1和𝛽_1分别为一阶滑动平均模型和一阶自回归模型中的参数。滑动平均模型实际上相当于是施加在作为白噪声的𝜀_t上的有限冲激响应，而自回归模型则用于解释对数收益率的自相关性的，而对数收益率的自相关性则体现在波动率聚集上。
等式(3)表示：对数收益率的残差的时间序列，符合Student’s t分布。虽然传统计量经济学中，经常假设对数收益率的残差，包括对数收益率本身，符合正态分布，但是实际中对数收益率的分布往往呈现出偏度小于零，超值峰度大于零的现象，就像我们先前验证的一样。因此，在实践中，Student’s t分布更能准确模拟对数收益率的现实中的分布情况。
